यदि f(x) = lim_{n to infty} frac{[x^2] + [(2x | vedclass

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Question

(A) हमें $f(x) = \lim_{n 	o \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} [(kx)^2]}{n^3}$ दिया गया है।महत्तम पूर्णांक फलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$[y] = y - \{y\

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हर जगह सतत

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(A) हमें $f(x) = \lim_{n 	o \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} [(kx)^2]}{n^3}$ दिया गया है।महत्तम पूर्णांक फलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$[y] = y - \{y\}$,जहाँ $0 \le \{y\} $f(x) = \lim_{n 	o \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} ((kx)^2 - \{(kx)^2\})}{n^3}$.$f(x) = \lim_{n 	o \infty} \left( \frac{x^2 \sum_{k=1}^{n} k^2}{n^3} - \frac{\sum_{k=1}^{n} \{(kx)^2\}}{n^3} ight)$.चूंकि $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,पहला पद $\lim_{n 	o \infty} \frac{x^2 n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{x^2}{6} 	imes 2 = \frac{x^2}{3}$ हो जाता है।दूसरे पद में $\sum_{k=1}^{n} \{(kx)^2\}$ शामिल है। चूंकि $0 \le \{(kx)^2\} अतः,$f(x) = \frac{x^2}{3}$.चूंकि $f(x) = \frac{x^2}{3}$ एक बहुपद फलन है,यह सभी $x \in R$ के लिए सतत है।

यदि $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{[x^2] + [(2x)^2] + [(3x)^2] + \cdots + [(nx)^2]}{n^3}$ है,तो $f(x)$ है (जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है).

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फलन $f$ की सांतत्यता की जाँच कीजिए,जहाँ $f(x) = \begin{cases} \sin x - \cos x, & \text{यदि } x \neq 0 \\ -1, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है।

यदि $f(x) = \frac{\ln(e^{x^2} + 2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$,$x = 0$ पर सतत है,तो $f(0)$ का मान क्या होगा?

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यदि फलन $f(x) = \begin{cases} 3ax + b, & \text{for } x < 1 \\ 11, & \text{for } x = 1 \\ 5ax - 2b, & \text{for } x > 1 \end{cases}$ बिंदु $x = 1$ पर संतत है,तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

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